TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. la nueva figura se llamará "homólogo" de la original.

las transformaciones se clasifican en:

directa: el homólogo conserva el sentido del original en el plano cartesiano
inversa: el sentido del homólogo y del original son contrarios

además, también se pueden clasificar de acuerdo con la forma del homólogo con respecto al original en:

isométricas: el homólogo conserva las dimensiones y ángulos. También se llaman "movimientos", éstos son simetría axial y puntual, rotación y traslación.
isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. existe proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original. una de ellas es la homotecia.
anamórficas: cambia la forma de la figura original. Una de ellas es la inversión (no la trataremos).

Simetría en geometría

Grupo de simetría de la esfera.

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta:

Simetría esférica si existe simetría bajo algún grupo de rotaciones, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3).
Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2).
Simetría reflectiva o simetría especular que se caracteriza por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente $\mathbb{Z}_2$ . En dos dimensiones tiene un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si se construye una perpendicular, cualquier punto que reposee en esta perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticos. Otra manera de verlo es que si la forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo haciendo que sus bordes coincidan. Un círculo tendría infinitos ejes de simetría por la misma razón.
Simetría traslacional se da cuando la transformación $T_a(p) = p + a\,$ deja invariable a un objeto bajo un grupo de traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia sólo se da para un número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto infinito no numerable de valores de a en caso contrario.

Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son:

Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times \R^n$ .
Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación al rededor de un eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación.
Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases:

Simetría helicoidal infinita
Simetría helicoidal de n-ejes
Simetría helicoidal que no se repite

SIMETRIA EN FISICA
En física el concepto de simetría puede formularse en una forma no geométrica. Si K es un conjunto de objetos matemáticos del mismo tipo (funciones, formas geométricas, ecuaciones, ...) y G es un grupo de transformaciones que actúa sobre K de tal manera que:

$g (\in G): K \to K$

Se dice que un elemento de k₀ presenta simetría si:^[1]

$\forall g\in G: g(k_0) = k_0$

Así por ejemplo varias leyes de conservación de la física son consecuencia de la existencia de simetrías abstractas del lagrangiano, tal como muestra el teorema de Noether. En ese caso K representaría el conjunto de lagrangianos admisibles, k₀ el lagrangiano del sistema bajo estudio y G puede representar traslaciones espaciales (conservación del momento lineal), traslaciones temporales (conservación de la energía), rotaciones (conservación del momento angular) u otro tipo de simetrías abstractas (conservación de la carga eléctrica, el número leptónico, la paridad, etc.)

Ejemplo 1. Como primer ejemplo consideremos un electrón moviéndose entre dos placas infinitas cargadas uniformemente (dicho sistema se aproxima cierto tipo de condensadores), dado que cualquier traslación paralela a los planos constituye una simetría del sistema físico, entonces tanto la fuerza paralela a dichos planos es nula y por tanto la velocidad paralela a los planos es constante.

Ejemplo 2. Consideremos un satélite orbitando alrededor de un astro (planeta o estrella) con simetría esférica perfecta, consideremos además que la velocidad del satélite sea perpendicular a la línea entre el centro del satélite y el astro. En ese caso, el lagrangiano es totalmente invariante respecto a rotaciones según un eje que pase por el centro de la fuente del campo gravitatorio. En este caso debido a la simetría de rotación tanto del lagrangiano como de las condiciones iniciales del movimiento, la velocidad perpendicular al planeta es constante y la trayectoria es un círculo invariante bajo una rotación perpendicular al plano de la órbita.

Estos dos ejemplos anteriores son casos del teorema de Noether, un resultado general que establece que si existe un grupo uniparamétrico de simetría G para el lagrangiano tal que:

$\forall \phi_\lambda\in G: L(\phi_\lambda(\mathbf{q}),\phi_\lambda(\dot\mathbf{q}),t) = L(\mathbf{q},\dot\mathbf{q},t)$

Entonces la cantidad escalar:

$\left \langle \left . \frac{d\phi_\lambda}{d\lambda}\right \vert_{\lambda=0}, \frac{dL}{d\dot\mathbf{q}}\right\rangle = v_1p_1 + ... + v_Np_N$

Siendo v el campo vectorial que general el grupo uniparamétrico de transformaciones de simetría, y p_i los momentos conjugados de las coordenadas generalizadas de posición.

- Simetría en química

Artículo principal: Simetría molecular.

En química la simetría geométrica de las moléculas es importante, particularmente en química orgánica. Además propiedades como su momento dipolar y las transiciones espectroscópicas permitidas (basadas en reglas de selección como la regla de Laporte) pueden predecirse o ser explicadas a partir de la simetría de la molécula. Las simetrías que aparecen en química están asociadas a grupos finitos de isometrías, en concreto son grupos puntuales de transformaciones de isometría.

- Simetría en biología

Ilustración de los distintos tipos de simetría en las formas orgánicas (Field Museum, Chicago).

Simetría en biología es la equilibrada distribución en el cuerpo de los organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas. Los planes corporales de la mayoría de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetría, bien sea simetría radial o simetría bilateral. Una pequeña minoría no presenta ningún tipo de simetría (son asimétricos).

- Simetría radial

Artículo principal: Simetría radial (biología).

La simetría radial es la simetría definida por un eje heteropolar (distinto en sus dos extremos). El extremo que contiene la boca se llama lado oral, y su opuesto lado aboral o abactinal. Sobre este eje, se establecen planos principales de simetría; dos perpendiculares que definen las posiciones per-radiales. Las estructuras en otros planos (bisectrices de los per-radiales) quedan en posiciones inter-radiales. La zona entre los per-radiales y los inter-radiales es la zona ad-radial

Simetría bilateral

Artículo principal: Simetría bilateral.

La mayoría de especies animales tiene simetría bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y las estrellas de mar que presentan simetría radial secundaria (las fases de desarrollo tempranas y las larvas poseen simetría bilateral que posteriormente se pierde en el adulto). La simetría bilateral permite la definición de un eje corporal en la dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema nervioso centralizado y la cefalización.

- Simetría en música

En música clásica, existen composiciones en las que podemos encontrar distribuciones de las notas generadas mediante simetría bilateral, traslación o giros de media vuelta. Algunos ejemplos de composiciones, son: el Preludio de Johann Sebastian Bach, la Sonata en G mayor de Domenico Scarlatti, Lotosblume de Robert Schumann, o Die Meiestersinger de Richard Wagner.

- Simetría en alimentación de AC

En el contexto de la electrónica de radiofrecuencia, se habla de una alimentación simétrica de AC cuando ninguno de los conductores está a la masa. Cuando uno de los conductores está a la masa y el otro experimenta las variaciones de tensión, se dice que la alimentación es asimétrica.
Existen importantes aplicaciones tecnológicas basadas en la alimentación simétrica, ya que la alimentación simétrica tiene la gran ventaja de que la pérdida de potencia en la línea de transmisión es un orden de magnitud menor que la alimentación asimétrica por cable coaxial.

En efecto, el campo alterno generado por el conductor ascendente es cancelado por el campo generado por su homólogo descendente.
Además, la alimentación simétrica en delta permite la simplificación de la construcción.

La alimentación simétrica es por lo tanto la alimentación preferida en la operación QRP y en el modo EME, modos donde cada dB de ganancia cuenta.

- Véase también

Simetría en estadística

asimetría estadística

Simetría en juegos y puzzles

juego simétrico

Simetría en literatura

palíndromo

Simetría moral

Asimetría estadística

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a: navegación, búsqueda

En punteado negro: la media, en punteado gris: la moda.

Ejemplo de datos experimentales con una asimetría positiva (respuesta gravitrópica de los coleóptilos del trigo).

-Las medidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica.

Como eje de simetría consideramos una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por la media de la distribución. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de valores a la derecha que a la izquierda de la media, por tanto, el mismo número de desviaciones con signo positivo que con signo negativo. Decimos que hay asimetría positiva (o a la derecha) si la "cola" a la derecha de la media es más larga que la de la izquierda, es decir, si hay valores más separados de la media a la derecha. Diremos que hay asimetría negativa (o a la izquierda) si la "cola" a la izquierda de la media es más larga que la de la derecha, es decir, si hay valores más separados de la media a la izquierda.

- Medidas de asimetría

- Coeficiente de asimetría de Fisher

En teoría de la probabilidad y estadística, la medida de asimetría más utilizada parte del uso del tercer momento estándar. La razón de esto es que nos interesa mantener el signo de las desviaciones con respecto a la media, para obtener si son mayores las que ocurren a la derecha de la media que las de la izquierda. Sin embargo, no es buena idea tomar el momento estándar con respecto a la media de orden 1. Debido a que una simple suma de todas las desviaciones siempre es cero. En efecto, si por ejemplo, los datos están agrupados en $k$ clases, se tiene que:

$\sum_{i=1}^{k}f_i(x_i-\mu)=\sum_{i=1}^{k}f_ix_i-\mu\sum_{i=1}^{k}f_i=\mu-\mu=0 \!$

en donde $x_i$ representa la marca de la clase $i$ -ésima y $f_i$ denota la frecuencia relativa de dicha clase. Por ello, lo más sencillo es tomar las desviaciones al cubo.
El coeficiente de asimetría de Fisher, representado por $\gamma_1$ , se define como:

$\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}, \!$

donde $\mu_3$ es el tercer momento en torno a la media y $\sigma$ es la desviación estándar.
Si $\gamma_1>0$ , la distribución es asimétrica positiva o a la derecha.
Si $\gamma_1<0$ , la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.
Si la distribución es simétrica, entonces sabemos que $\gamma_1=0$ . El recíproco no es cierto: es un error común asegurar que si $\gamma_1=0$ entonces la distribución es simétrica (lo cual es falso).

- Coeficiente de asimetría de Pearson

Sólo se puede utilizar en distribuciones uniformes, unimodales y moderadamente asimétricas. Se basa en que en distribuciones simétricas la media de la distribución es igual a la moda.
$A_p = \frac{\mu - moda}{\sigma}, \!$
Si la distribución es simétrica, $\mu = moda$ y $\text{[math]}$ . Si la distribución es asimétrica positiva la media se sitúa por encima de la moda y, por tanto, $A_p>0$ .

- Coeficiente de asimetría de Bowley

Está basado en la posición de los cuartiles y la mediana, y utiliza la siguiente expresión:
$A_B = \frac{Q_{3/4} + Q_{1/4} - 2Me}{Q_{3/4} - Q_{1/4}} \!$
En una distribución simétrica el tercer cuartil estará a la misma distancia de la mediana que el primer cuartil. Por tanto $\text{[math]}$ .
Si la distribución es positiva o a la derecha, $A_B>0$ .

Coordenadas cartesianas

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a: navegación, búsqueda

Tres ejemplos de coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus proyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas.

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Recta euclídea
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en la dirección positiva de las x: $\mathbf{i}$ .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.

Un punto:

$A= ({x_A})\,$

también puede representarse:

$\vec {OA}= x_A\,\mathbf{i}$

La distancia entre dos puntos A y B es:

$d_{AB} = |x_A - x_B| \,$

- Plano euclídeo

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

Sistema de coordenadas cartesianas.

La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).
Se denomina también eje de las abscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

$\overline{OA} = x_A \, \mathbf{i} + y_A \, \mathbf{j}$

La posición del punto A será:

$A = ( x_A , \, y_A )$

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

$d_{\overline{AB}} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \,$

Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

$\overline{AB} = (x_B - x_A) \, \mathbf{i} + (y_B - y_A)\, \mathbf{j}$

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d_AB entre los puntos A y B antes calculada.

- Espacio euclídeo

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

coordenadas cartesianas espaciales.

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

$\overline{OA} = x_A \, \mathbf{i} + y_A \, \mathbf{j} + z_A \, \mathbf{k}$

Las coordenadas del punto A serán:

$A = ( x_A , \, y_A , \, z_A )$

y el B:

$B = ( x_B , \, y_B , \, z_B )$

La distancia entre los puntos A y B será:

$d_{\overline{AB}} = \sqrt{ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 } \,$

El segmento AB será:

$\overline{AB} = (x_B - x_A) \, \mathbf{i} + (y_B - y_A) \, \mathbf{j} + (z_B - z_A) \, \mathbf{k}$

- Cambio del sistema de coordenadas

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones elementales: traslación del origen, rotación alrededor de un eje y escalado.

- Traslación del origen

Traslación del origen en coordenadas cartesianas.

Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

$S1 = \{O;\; x,y \}$

y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

$A = (x_A ,\; y_A )$

dado un segundo sistema de referencia S2

$S2 = \{O^\prime ;\; x^\prime,y^\prime \}$

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:

$O^\prime = (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime})$

Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores, que llamaremos:

$A^\prime = (x^\prime_A ,\; y^\prime_A )$

Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:

$\overline{OA} = \overline{O O^\prime} + \overline{O^\prime A}$

despejando

$\overline{O^\prime A} = \overline{OA} - \overline{O O^\prime}$

Lo que es lo mismo que:

$(x^\prime_A ,\; y^\prime_A ) = (x_A ,\; y_A ) - (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime})$

Separando los vectores por coordenadas:

$x^\prime_A = x_A - x_{O^\prime}$

$y^\prime_A = y_A - y_{O^\prime}$

y ampliándolo a tres dimensiones:

$z^\prime_A = z_A - z_{O^\prime}$

- Rotación alrededor del origen

Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas.

Dado un sistema de coordenadas en el plano S₁ con origen en O y ejes x e y:

$S_1 = \{ O; \; x,y \}$

y una base ortonormal de este sistema:

$B_1 = \{ \mathbf{i} , \mathbf{j} \}$

Un punto A del plano se representará en este sistema según sus coordenadas:

$\mathbf{A} = x_A\,\mathbf{i} +y_A\,\mathbf{j}$

Para un segundo sistema S₂ de referencia girado un ángulo $\alpha \,$ , respecto al primero:

$S_2 =\{ O; \; x^\prime , y^\prime \}$

y con una base ortonormal:

$\mathbf B_2 = \{ \mathbf{i^\prime} , \mathbf{j^\prime} \}$

Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, se llama rotación alrededor del origen, siendo su representación:

${\mathbf A^\prime} = x^\prime_A \, \mathbf{i^\prime} + y^\prime_A \, \mathbf{j^\prime}$

Hay que tener en cuenta que el punto $\mathbf A \,$ y $\mathbf A^\prime \,$ son el mismo punto, $\mathbf A \equiv \mathbf A^\prime$ ; se emplea una denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema, sí son diferentes, y es lo que se pretende calcular.
La representación de B₁ en B₂ es:

$\mathbf{i} = \cos {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} - \sin {\alpha} \, \mathbf{j^\prime}$

$\mathbf{j} = \sin {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} + \cos {\alpha} \, \mathbf{j^\prime}$

Dado que el punto A en B1 es:

$\mathbf {A} = x_A \, \mathbf{i} + y_A \, \mathbf{j}$

con la transformación anterior tenemos:

$\mathbf {A} = x_A \,(\cos {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} - \sin {\alpha} \, \mathbf{j^\prime}) + y_A \, (\sin {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} + \cos {\alpha} \, \mathbf{j^\prime})$

Y, deshaciendo los paréntesis:

$\mathbf {A} = x_A \, \cos {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} - x_A \, \sin {\alpha} \, \mathbf{j^\prime} + y_A \, \sin {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} + y_A \, \cos {\alpha} \, \mathbf{j^\prime}$

reordenando:

$\mathbf {A} = (x_A \, \cos {\alpha}+ y_A \, \sin {\alpha}) \, \mathbf{i^\prime} +(- x_A \, \sin {\alpha} + y_A \, \cos {\alpha}) \, \mathbf{j^\prime}$

Como:

$\mathbf A \equiv A^\prime$ ;

Tenemos que:

$\mathbf {A^\prime} = (x_A \, \cos {\alpha} + y_A \, \sin {\alpha}) \, \mathbf{i^\prime} +(- x_A \, \sin {\alpha} + y_A \, \cos {\alpha}) \, \mathbf{j^\prime}$

Como sabíamos:

$\mathbf {A^\prime} = x^\prime_A \, \mathbf{i^\prime} + y^\prime_A \, \mathbf{j^\prime}$

Por identificación de términos:

$x^\prime_A = \; x_A \, \cos {\alpha} + y_A \, \sin {\alpha}$

$y^\prime_A = - x_A \, \sin {\alpha} + y_A \, \cos {\alpha}$

Que son las coordenadas de A en B₂, en función de las coordenadas de A en B₁ y de ${\alpha} \,$ .

- Escalado

Sea un punto con coordenadas (x,y) en el plano. Si se cambia la escala de ambos ejes en un factor λ, las coordenadas de dicho punto en el nuevo sistema de coordenadas pasarán a ser:

$(x',y') = (\lambda x,\lambda y)\,$

El factor de escala λ no necesariamente debe ser el mismo para ambos ejes.

- Cálculo matricial

Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita

¿TODOS LOS DIAS, DIAZ TE LO DICE!

martes, 28 de agosto de 2012

PLANO CARTECIANO